Mencari Akar Persamaan menggunakan Python (Newton-Raphson Method)

Pada artikel sebelumnya kita telah membahas Bisection Method untuk menemukan akar pada suatu persamaan polinomial dalam suatu interval tertentu. Kali ini kita akan mengulas metode numerik lain yaitu Newton-Raphson Method atau biasa dikenal dengan nama Newton’s Method saja.

Mendengar namanya kita pastinya langsung teringat ke sosok yang sudah dikenal luas, yaitu Freddie Mercury yang bersama Queen menyanyikan tembang Bohemian Rhapsody. “Is this the real life? Is this just fantasy?”

Menariknya, bukan Freddie Mercury ataupun personel Queen lainnya yang berkontribusi pada pengembangan Newton-Raphson Method. Ialah Isaac Newton dan Joseph Raphson yang mengembangkannya secara terpisah. Walaupun banyak textbook yang menggunakan hanya nama Newton untuk metode ini, tetapi berdasarkan Wikipedia diketahui bahwa metode Raphson-lah yang lebih simple, superior, dan digunakan saat ini.

Seperti apa? Mari kita bahas.

Konsep

Berbeda dengan Bisection Method yang membutuhkan dua nilai batas interval sebagai tebakan awal akar (a dan b), pada metode Newton-Raphson kita hanya memerlukan satu nilai tebakan untuk mendekati nilai akar yang sebenarnya. Oleh karenanya Newton-Raphson Method termasuk dalam kategori metode terbuka.

Prinsip utama dari metode ini adalah apabila tebakan awal nilai untuk suatu persamaan f(x)=0 adalah di-xᵢ, maka jika ditarik gradient di titik f(xᵢ) menghasilkan titik xᵢ₊₁ yang merupakan perpotongan sumbu-x dan gradient. TItik xᵢ₊₁ dapat dilihat sebagai pendekatan terhadap nilai akar yang sebenarnya (source).

Gambar 1: Ilustrasi gradien di titik f(xᵢ) yang menghasil titik xᵢ₊₁ untuk mendekati nilai akar sebenarnya dari persamaan f(x)=0.

Menggunakan definisi dari gradien dari suatu fungsi f(x) di x=xᵢ,

maka kita bisa menentukan nilai xᵢ₊₁ sebagai berikut

Selain secara geometri seperti di atas, kita juga dapat menurunkan rumus Newton-Raphson Method menggunakan bantuan deret Taylor yang bisa dicari lebih lanjut.

Setelah mendapatkan rumusan untuk menentukan nilai xᵢ₊₁, kita dapat mengulangi prosedur tersebut dengan melakukan iterasi hingga nilai f(xᵢ) mendekati nilai 0. Proses iterasi menggunakan metode Newton-Raphson dapat lebih jelas melalui animasi berikut.